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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Trace el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas. Determine en cada caso el conjunto imagen.
d) $f(x)=-(x-5)^{2}$
d) $f(x)=-(x-5)^{2}$
Respuesta
Vamos a seguir con esta otra función cuadrática, siguiendo el esquema que vimos en la clase y que ya refrescamos en el item a)
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$f(x)=-(x-5)^{2}$
Una manera de encarar esta cuadrática es desarrollando ese cuadrado para llevarla a la forma polinómica, que es la clásica de siempre con la forma $y= ax^2 + bx + c$
¿Te acordás cómo hacíamos eso? Usamos que $(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$
En este caso nos quedaría:
$f(x) = - [x^2 - 2\cdot x \cdot 5 + 5^2]$
$f(x) = - [x^2 - 10x + 25]$
Distribuimos el signo $-$ y ya estamos:
$f(x) = -x^2 +10x -25$
Perfecto, entonces ahora vemos claramente que para esta cuadrática $a = -1$, $b=10$ y $c=-25$.
1. La parábola tiene concavidad hacia abajo, es decir, es una "carita triste" (ya que $a=-1$, es negativo)
2. Buscamos las raíces resolviendo \(f(x) = 0\):
$-x^2 +10x -25 = 0$
Si aplicamos la fórmula resolvente en este caso, con $a = -1$, $b=10$ y $c=-25$, vemos que $f$ tiene una única raíz en $x=5$
(Si elegías la expresión original para igualar a cero, ahí quedaba todavía más obvio que la única raíz era $x=5$, sin necesidad de hacer ninguna resolvente)
3. Calculamos el vértice. Para el $x$ del vértice planteamos \(x = -\frac{10}{2 \cdot (-1)}\) $= 5$ .
Para el $y$ del vértice planteamos \(f(5) = 0\). Por lo tanto, el vértice está en $(5,0)$.
Listo, ya tenemos todo para graficarla, nos quedaría algo así...
La imagen fijate que va desde $-\infty$ hasta el $y$ del vértice, es decir, es el conjunto $(-\infty,0]$